已知函数y=f(x)的定义域是R,且f(a+x)=f(b-x)(a,b是常数），求证：y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称
答案:2 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-04-13 03:57
- 提问者网友：我们很暧昧
- 2021-04-12 04:22
已知函数y=f(x)的定义域是R,且f(a+x)=f(b-x)(a,b是常数），求证：y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称
最佳答案
- 五星知识达人网友：底特律间谍
- 2021-04-12 05:25
因为f(a+x)=f(b-x)
可以把a+x 和b-x看作方程的两个根
对称轴即是两根之和/2＝（a+b）/2
（自己举例一下，画个图就明白啦！）
可以把a+x 和b-x看作方程的两个根
对称轴即是两根之和/2＝（a+b）/2
（自己举例一下，画个图就明白啦！）
全部回答
- 1楼网友：一叶十三刺
- 2021-04-12 05:44
证明：（1）设x1＞x2，则x1-x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴函数y=f（x）是r上的减函数；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数．
本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用抽象函数的对应关系以及定义法是解决本题的关键．
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