超越数后续1

什么叫超越数？

定义：超越数是不能满足任何整系数代数方程的实数。此定义恰与代数数相反。
　　两个著名的例子：圆周率π＝3.14159…｜自然对数的底e＝2.71828…
　　可以证明超越数有无穷多个。

在实数中除了代数数外，其余的都是超越数。实数分类成代数数和超越数。
　　所有超越数构成的集是一个不可数集。这暗示超越数远多于代数数。可是，现今发现的超越数极少，因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

当一个数可以被写成含有理系数的多项式方程的根的形式时，不管这个数是实数还是复数，则这个数都可以被定义为代数数。否则，就是超越数。这就是说，如果存在非零的有理数 使得方程 成立，我们就说式中的 是一个代数数。而当 为一个超越数时，这个数就不是任何一个含非零的有理数系数的多项式方程的根。 假如a,b都是有理数，这等式不能成立，因而对于这种不是底a的幂的数b，其对数应当恰如其分地命名为超越数。”历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔（J.Liouville,1809~1882）,他于1851年构造了一个数：L=1/10+1/10^2!+1/10^3!....这个无限小数后来被称为“刘维尔数”。刘维尔成功地证明了这个数是一个超越数。 在“刘维尔数”构造出来之后二十多年，数学家康托证明了：所有代数数的集合是可数的，即代数数的个数与自然数一样多！在此基础上，康托根据他的集合论中的另外一个结论——实数集是不可数的，得知复数集也是不可数的，因而进一步得到一个结论：必定存在不是代数数的复数，因此超越数必定存在！ 继刘维尔之后，数学家们为了证明某些具体的数的超越性付出了种种努力：1873年，法国数学家埃尔米特（C．Hermite，1822～l901）证明了自然对数的底 e＝2．7182818…… 是超越数。1882年，德国数学数学家林德曼（Lindemann，1852～1939）证明了圆周率 π＝3．1415926…… 是超越数。 证明某些数是超越数有着重大的意义，比如说π的超越性的证明就彻底地解决了古希腊三大作图问题中的化圆为方问题，即化圆为方是不可能的。判断某些给定的数是否超越数实在是太困难了，为了获得上述结果，一个多世纪以来，数学家们付出了艰苦的劳动。即便如此，这个领域仍旧迷雾重重。比如说，现在人们仍然无法断定像e＋π和这样的数到底是代数数还是超越数。 超越数与代数数有着明显的不同，甚至连运算法则也有区别。比如说，对于代数数成立的加法和乘法消去律，对于超越数来说就不成立。举个例子，如果对三个超越数a，b，c有下式成立： a＋b＝a＋c 但 b＝c却不一定成立。类似地，对于这三个数，如果下式成立： a×b＝a×c 但 b＝c 也不一定成立。

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