高中数学难难难题

已知常数a > 0，向量c=(0，a)，i=(1，0)。经过原点O以i＋λc为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以 －λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得为|PE|+|PF|定值。若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。

设OM=c＋λi=(0，a) ＋λ (1，0)=(λ，a)

ON=i－2λ=(1，0)－2λ(0，a) = (1，－2λa)

AN=ON－OA=(1，－2λa)－(0，a)= (1，－2λa－a)

设P(x，y)

∵ P为直线OM与AN的交点

∴ OP与PM共线

∴ ax = λy①

∵AN与AP共线

∴ x(－2λa－a) = y－a ②

①②联立，得： y(y－a) = －2a²x²

即x²/(1/8)＋[y-(a/2)²]/(a/2)²= 1(※)

(1)当a = √2/2时，方程※是圆方程，故不存在合本题意的定点E和F

(2)当0<a<√2/2时，方程※表示椭圆，焦点E(√(1-a²)/2，a/2)，F(-√(1-a²)/2，a/2)

(3)当a>√2/2时，方程※表示椭圆，焦点E(0， 1/2[a+√(a²-1/2)] )，F(0， 1/2[a+√(a²-1/2)] )

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