97全国高考数学卷答案
- 提问者网友：山高云阔
- 2021-05-18 06:22
- 五星知识达人网友：鸽屿
- 2021-05-18 07:44
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分．
(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(16)4 (17) (4，2) (18)2－ (19)①，④
注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分．
三、解答题
(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分．
解法一：将已知复数化为复数三角形式：
，
依题意有zω+zω3
=(cos+isin)+(cos+isin)
=(cos+cos)+i(sin+sin)
=2cos(cos+isin)
故复数zω+zω3的模为，辐角主值为．
解法二：zω+zω3
= zω(1+ω2)
=(+i)(+i)(1+i)
=(－i+i)
=(cos+isin)
(21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分．
解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为
an =a+(n－1)d，
前n项和为
，
依题意有
其中S5≠0．
由此可得
整理得
解方程组得
由此得
an=1；
或 an=4－(n－1)
=－n．
经验证知时an=1，S5=5，或时，S5=－4，均适合题意．
故所求等差数列的通项为an=1，或．
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分．
解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
y=a·+bv2·=S(+bv)
故所求函数及其定义域为
y = S(+bv)，v∈
(Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有
S(+bv)≥2．
当且仅当，即时上式中等号成立．
若，则当时，全程运输成本y最小．
若，当时，有
S(+bv)－S(+bc)= S[(－)+(bv－bc)]=(c－v)(a－bcv)．
因为c－v≥0，且a>bc2，故有
a－bcv≥a－bc2>0，
所以S(+bv)≥S(+bc)，且仅当v=c时等号成立．
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为．
(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．
解：(Ⅰ) ∵ AC1是正方体，
∴ AD⊥面DC1．
又D1F面DC1，
∴ AD⊥D1F．
(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，
A1G∥D1F．
设A1G与AE相交于点H，∠AHA1是AE与D1F所成的角．
因为E是BB1的中点，所以
Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，
从而∠AHA1=90o，
也即直线AE与D1F所成的角为直角．
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，
所以D1F⊥面AED．
又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．
(Ⅳ)∵ 体积，
又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F－AA1E的高FG=AA1=2，
面积 =S□=×22=2．
∴=××FG=×2×2=
(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．
解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1>1，x2>1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以，
点C、D坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．
由于log2x1=－3 log8x1，
log2x2==3log8x2
OC的斜率 ，
OD的斜率 ．
由此可知，k1=k2，
即O、C、D在同一条直线上．
(Ⅱ)由于BC平行于x轴知
log2x1= log8x2，
即得 log2x1=log2x2，
∴ x2=．
代入x2log8x1=x1log8x2得
log8x1=3x1log8x1．
由于x1>1知log8x1≠0，
∴ =3x1．
考虑x1>1解得x1=．
于是点A的坐标为(，log8)．
(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．
解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90o，知圆P截x轴所得的弦长为．故
r2=2b2
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．
又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为，所以，
即有 a－2b=±1，
由此有
解方程组得
于是r2=2b2=2，
所求圆的方程是
(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．