关于等差数列的一道高一数学题

12.设无穷等差数列﹛a_n﹜的前n项和为Sn.

(1)若首项a₁=3/2,公差d=1，求满足S_k²=(S_k)²的整数K；

（2）求所有的无穷等差数列﹛a_n﹜，使得对于一切整数K都有S_k²=(S_k)²成立。

解：（Ⅰ）an=a1+（n-1）d=n+1/2
Sn=(a1+an)n/2=(n+2)n/2
S（k^2）=(Sk)^2,即
（k^2+2)k^2/2=(k+2)^2k^2/4
k=4或k=0

(Ⅱ)由S（k^2）=(Sk)^2可知
a1=S1=(S1)^2,a1=S1=0或a1=S1=1
1）当a1=0时，设公差为d，则an=（n-1)d
Sn=n(n-1)d/2,所以
k^2(k^2-1)d/2=k^2(k-1)^2d^2/4,即
2（k+1)d=(k-1)d^2对任何k都成，则
d=0
即无穷等差数列an=0
2）a1=1时，设公差为d，则an=（n-1)d+1
Sn=n[(n-1)d+2]/2,所以
k^2[(k^2-1)d+2]/2=k^2[(k-1)d+2]^2/4,即
2d(k-1)(k+1)=d(k-1)[(k-1)d-4)]对所有k都成，则
d=0
即无穷等差数列an=1
所以an=1或an=0

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