如图，已知二次函数 的图像经过A（－2，0）、B（4，0）、C（0，3）

如图，已知二次函数 的图像经过A（－2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，联结BC、AC，该二次函数图像的对称轴与 轴相交于点D．
（1）求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式．
（2）在线段BC上是否存在点Q，使得以点Q、D、B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点P是该二次函数图像上一动点，请探求以点P、C、D、B为顶点的四边形能否成为梯形？若能，请直接写出所有符合条件的点P的个数及其坐标；若不能，请说明理由

该二次函数图像的对称轴与 轴相交于点D 请修改下

解：1）设过A、B、C三点的二次函数解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0） 则：0=a(-2)^2+b(-2)+c(1) 0=a4^2+4b+c(2) 3=c(3) 由(1),(2),(3)式可求得a=-3/8,b=3/4,c=3 故y=-3/8x^2+3/4x+3； (X1+X2)/2=(-2+4)/2=1,对称轴为x=1,故D（1，0）； 设过B、C的直线为y=kx+3,因直线过（4，0） 则0=4k+3,k=-3/4,所以y=-3/4x+3. 2)存在,并且BC上有两个这样的点。 （1）当DQ平行于AC时，△BDQ∽△BAC，设BC上的高为h,则 h:OC=BD:BA,即h:3=3:6,h=1.5;把y=1.5代入y=-3/4x+3 可求得x=2.则Q（2，1.5) (2)当BD:BQ=BC:BA时，△BDQ∽△BAC,BQ:BD=BA:BC 由BC^2=OC^2+OB^2可求得BC=5,则BQ:3=6:5,BQ=3.6 设此时Q离X轴距离为m,则m:CO=BQ:BC,即m:3=3.6:5. ∴m=2.16,即Q点的纵坐标，则2.16=-3/4x+3,x=1.12 故Q（1.12,2.16) （3）存在这样的P点，应该有四个。坐标分别为： （2，3）、（6，-6）、 （4+√10，[-9-3√10]/4）、 （4-√10，[-9+3√10]/4）。 如果第三题有什么疑问，可以说一下，再给你解释一下。

解：（1）

由图像可以解除对称轴x=1/2(-2+4)=1,所以点D的坐标为（1，0），

设二次函数的解析式为（对称式）：y=a(x-1)^2+c,

把A(-2,0),C(0,3)带入上式得

0=a(-2-1)^2+c````(1)

3=a(0-1)^2+c```(2)

由（1）（2）解得a=-3/8,C=27/8

所以解析式为：y=-3/8(x-1)^2+27/8

设BC斜率为K，方程为：y-0=k(x-4)则K=（3-0）/（0-4）=-3/4

所以BC方程为：y=-3/4(x-4)

(2)

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