数列的上（下）极限是怎样定义的？

数列的上（下）极限是怎样定义的？

一般地，对于数列来说，
若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式
|Xn-a|<ε
都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .
记作：或
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。

用极限定义证明数列极限的关键是: 1、对πε>0,都能找到一个正整数n,当n>n时,有|an-a|<ε成立・这里的πε>0,由证题者自己给出・因此,关键是找出n・那么,如何寻找n呢? 2、显然,要寻找的n,一定要满足当n>n时,有|an-a|<ε成立・而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<ε的解集・该解集是自然数集n的无限子集・对同一个ε,n并不惟一。 3、因此,只需在该解集找出一个作为n即可・这样寻找n的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。

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