若mx²-(2m+1)x+m-1≥0的解集为∅,求m的范围?

若mx²-(2m+1)x+m-1≥0的解集为∅,求m的范围?

解题思路：
当m=0时，不是二次函数，有解，不合题意。

当m≠0时，为二次函数，解集为空集，所以抛物线必开口向下，并且与X轴没有交点，如果抛物线开口向上，那么抛物线上必有大于等于0的点，不合题意。

抛物线必开口向下得：
m<0

与X轴没有交点，得：
判别式=(2m+1)²-4m(m-1)
=4m²+4m+1-4m²+4m
=8m+1<0

即m<-1/8

合并得：m<-1/8

解析

解集是R
所以b²-4ac<0
所以
(2m+1)²-4m(m-1)<0
4m²+4m+1-(4m²-4m)<0
4m²+4m+1-4m²+4m<0
8m+1<0
8m<-1
m<-1/8且m不等于0

希望对你有帮助
学习进步O(∩_∩)O谢谢
先讨论：1：当m=0代入原式得m》=-1不满足解集为R 2：当m>0 该函数开口向上，只要最小值小于或等于0，也就是图像与x轴有交点，此时有【4m（m-1)-（2m-1）^2】/4m<=0解得m>=-1/8又因为m>o所以m>0，3：当m<0开口向下，只要最大值大于等于0，也就是图像与x轴有交点，此时有[4m(m-1)(2m-1)^2]/4m>=0,解得m<=-1/8.所以m的解集是[0，+∞]∪[-∞,-1/8]追问第一句话“解集是R”是什么意思？追答解集是R的意思是，对于任意有理数，该不等式都成立，
解集不是R的意思是，存在一个有理数，使得该不等式不成立。追问

分类讨论 令f(x)=mx^2-(2m+1)x+m-1;
（1）当m>0时，f(x)为开口向上的二次函数，对于该不等式而言，解集不会是空集；
（2）当m=0时，f(x)为一次函数，解集也不会是空集；
（3）当m<0时，二次函数，利用δ=（2m-1）^2-4m(m-1)<0得到m的范围追问
太感谢了！

先讨论一下：1：当m=0代入原式得m》=-1不满足解集为
∅
2：当m>0 该函数开口向上，只要最小值小于或等于0，也就是图像与x轴有交点，此时有【4m（m-1)-（2m-1）^2】/4m<=0解得m>=-1/8又因为m>o所以m>0，3：当m<0开口向下，只要最大值大于等于0，也就是图像与x轴有交点，此时有[4m(m-1)(2m-1)^2]/4m>=0,解得m<=-1/8.所以m的解集是[0，+∞]∪[-∞,-1/8]
符号很难输的
请采纳=w=追问
十分感谢！

解集是空集
则mx²-(2m+1)x+m-1<0恒成立
则抛物线的开口必须向下，而且函数最大值要小于0，即与x轴无交点，从而判别式<0
则有m<0
对称轴为x=(2m+1)/(2m)
即(2m+1)^2/(4m)-(2m+1)^2/(2m)+m-1
=-(2m+1)^2/(2m)+m-1=(-2m^2-6m-1)/(2m)<0
即2m^2+6m+1>0
所以有
m>(根号7-3)/2，或m<-(3+根号7)/2
判别式=(2m+1)²-4m(m-1)
=4m²+4m+1-4m²+4m
=8m+1<0
即m<-1/8
又因m<0
所以m的取值为
m<-(3+根号7)/2或(根号7-3)/2谢谢了！

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