高数，曲面积分，例60题，答案第一部，为什么显然∫∫(z+1)dxdy=0 ？
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解决时间 2021-03-29 13:56
- 提问者网友：沉默菋噵
- 2021-03-28 23:20
高数，曲面积分，例60题，答案第一部，为什么显然∫∫(z+1)dxdy=0 ？
最佳答案
- 五星知识达人网友：轮獄道
- 2021-03-29 00:54
因为Σ是锥面z＝
x2+y2
(0≤z≤1)的下侧，不是封闭曲面，
故首先添加一曲面Σ1：
z＝1
x2+y2≤1
，取上侧，使Σ+Σ1构成封闭曲面，并记其所围区域为Ω．
则
∬
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy．
利用柱面坐标系计算可得，
∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∭
Ω
(1+2+3)dxdydz
=6
∫
2π
0
dθ
∫
1
0
rdr
∫
1
r
dz
=12π
∫
1
0
r(1−r)dr
=2π．
而
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=0，
所以
∬
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=2π-0=2π．
x2+y2
(0≤z≤1)的下侧，不是封闭曲面，
故首先添加一曲面Σ1：
z＝1
x2+y2≤1
，取上侧，使Σ+Σ1构成封闭曲面，并记其所围区域为Ω．
则
∬
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy．
利用柱面坐标系计算可得，
∬
∑+∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
∭
Ω
(1+2+3)dxdydz
=6
∫
2π
0
dθ
∫
1
0
rdr
∫
1
r
dz
=12π
∫
1
0
r(1−r)dr
=2π．
而
∬
∑1
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=0，
所以
∬
xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy=2π-0=2π．
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- 1楼网友：不如潦草
- 2021-03-29 01:50
是因为对坐标的曲面积分Σ在xoy面的投影为一条曲线，所以面积微元dxdy为0，与被积函数z+1无关
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