如图,三角形ABC中,角ACB=90度,以AC为一边在三角形ABC作等边三角形ACD，过点D作DE垂直AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE

如图,三角形ABC中,角ACB=90度,以AC为一边在三角形ABC作等边三角形ACD，过点D作DE垂直AC，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE （1）求证AE=BE=CE (2)若AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的一点。则当DP为何值时，三角形PBC周长最小，并求出此时三角形PBC的周长

是这样的图吗？

（1）根据题意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出出EF∥BC，再由点F是AC的中点可得出点E是斜边AB的中点，继而利用直角三角形的斜边中线的性质可得出所证得结论． （2）根据轴对称求最短路径的知识可得，点C关于DE的对称点和点B的连线与DE的交点即是点P的位置，结合图形及（1）可得点P的位置即是点E的位置，从而可求出此时△PBC的周长．解答：解：（1）∵DE⊥AC，∠ACB=90°， ∴EF∥BC， 又∵ADC是等腰三角形， ∴点F是AC的中点（等腰三角形的三线合一的性质）， ∴EF是△ABC的中位线，即可得点E是斜边AB的中点， ∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE； （2）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm， ∴AC= AB2-BC2= 152-92=12， ∵AD=CD=10cm，DE⊥AC， ∴F是AC的中点， ∴EF= 12BC= 12×9=4.5，AF= 12AC= 12×12=6， ∴DF= AD2-AF2= 102-62=8， ∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm， 根据轴对称求最短路径的知识，可得当点P与点E重合的时候PB+PC最小，也即△PBC的周长最小， 此时PB=PC= 12AB= 152，即DP=DE=12.5cm时，△PBC的周长最小， ∴△PBC的最小周长=PB+PC+BC=15+9=24cm．点评：本题考查利用轴对称求最短路径的知识，与实际结合的比较紧，有一定的综合性，解答本题（2）的关键是利用轴对称的性质确定点P的位置 

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