如图已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：①BD平分∠ABC；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD；④BD⊥AC。

⑴判断其中正确的结论是哪几个？（填序号）

⑵从你认为的结论中选一个加以证明..

(1):<1>和<2>
(2):<2>

证明①： ∵AB=AC ∠A=36° ∴∠ABC=∠C=144°÷2=72° ∵MN是AB的垂直平分线 ∴∠A=∠ABD=36°（三线合一） ∴∠DBC=72°-36°=36° ∴BD平分∠ABC

解：（1）连接BD， ①∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=

180°−36°

2

=72°， ∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等． 有AD=BD，∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD平分∠ABC，故正确； ②∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形．故正确； ③∠ABC=∠ACB=∠BDC=∠C， ∴△ABC∽△BCD，故正确； ④∵∠AMD=90°≠∠C=72°， ∴△AMD与△BCD不是全等三角形．故不正确． ∴①、②、③命题都正确．正确的结论是①、②、③； （2）证明：BD平分∠ABC， ∵AB=AC，∠A=36° ∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=

180°−36°

2

=72°， ∵AB垂直平分线交AC于D，交AB于M， ∴根据中垂线的性质，中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等．有AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=72°-36°=36°， ∴BD平分∠ABC．

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