如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+

如图,在Rt△ABC中,∠c=90°,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上,且DE⊥DF,求证：EF^2=AE^2+BF^2

证明：延长FD,取点G,使DG＝FD,连接EG
∵D是AB的中点
∴AD＝BD
∵DG＝FD,∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF
∴AG＝BF,∠DAG＝∠B
∵∠C＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠DAG＝90
∴∠EAG＝90
∴EG²＝AE²+AG²
∴EG²＝AE²+BF²
∵DE⊥DF,DF＝DG
∴ED垂直平分GF
∴EF＝EG
∴EF²＝AE²+BF²

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