在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。若向量BA乘以向量BC=2,b=2乘以根号2，求a和c的值

在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。若向量BA乘以向量BC=2,b=2乘以根号2，求a和c的值

解：

因为在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c

且b×cosC=3a×cosB-c×cosB

所以，b×cosC+c×cosB=3a×cosB

因为a=b×cosC+c×cosB

所以，a=3a×cosB

即cosB=3分之1

因为向量BA×向量BC=2

所以，∣向量BA∣×∣向量BC∣×cos<向量BA,向量BC>=2

因为∣向量BA∣=c，∣向量BC∣=a，<向量BA,向量BC>=∠B

所以，ac×cosB=2

即ac=6

因为由余弦定理，得

a^2+c^2-2ac×cosB=b^2

且b=2根号2

所以，a^2+c^2-4=8

即a^2+c^2=12

因为a^2+c^2=(a+c)^2-2ac=(a+c)^2-12

所以，(a+c)^2-12=12

所以，(a+c)^2=24

所以，a+c=2根号6

因为ac=6

所以，a=c=根号6

附录：关于“在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，

a=b×cosC+c×cosB”的证明过程

证明：过A作AD⊥BC于D

所以，CD=AC×cosC，BD=AB×cosB

因为AC=b，AB=c

所以，CD=b×cosC，BD=c×cosB

因为a=BC=CD+BD

所以，a=b×cosC+c×cosB

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