概率论的问题n

设总体X~N（μ，σ²）（σ>0），从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n（也就是从总体X中抽取2n个随机样本），其样本均值为Y（自己翻书看样本均值的定义）

试求统计量

Z=∑(Xi+Xn+i-2Y)²的数学期望E（Z） 其中，∑求和范围是i=1 到 n

1、先算E(Y)=μ,

2、再算D(Y)=σ²/2n，

3、再算E(Y²)=μ²+σ²/2n

4、(X_i+X_n+i-2Y)²=X_i²+X_n+i²+4Y²+2X_iX_n+i-4（X_i+X_n+i）Y

5、E((X_i+X_n+i-2Y)²)=E(X_i²)+E(X_n+i²)+4E(Y²)+2E(X_iX_n+i)-4E(（X_i+X_n+i）Y)

注意到E(X_iX_n+i)=0，E(X_i²)=μ²+σ²，E(（X_i+X_n+i）Y)=E(（X_i²+X²_n+i）/2n)=(μ²+σ²)/n

∴E((X_i+X_n+i-2Y)²)=(6-4/n)μ²+(2-2/n)σ²

6、E(Z)=n×E((X_i+X_n+i-2Y)²)=(6n-4)μ²+2(n-1)σ²

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