人教版八年级上册数学重点题型

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因式分解总复习

　　一、知识结构

　　因式分解

　　二、注意事项：

　　1.因式分解与整式乘法

　　（1）因式分解与整式乘法互为逆运算。如
　　　　
　　　　 又如：
　　　　

　　（2）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决定的。如把(x-1)(x-2)-6分解因式，必须先做乘法，得
　　(x-1)(x-2)-6=(x²-3x+2)-6=x²-3x-4=(x-4)(x+1)

　　又如，计算(x+y)²-(x-y)², 一般不是按照运算顺序先做整式乘法，而是先因式分解，得
　　 (x+y)²-(x-y)²
　　=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
　　=2x·2y
　　=4xy

　　2.关于因式分解的要求：

　　（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如x⁴-1=(x²+1)(x²-1)，就不符合因式分解的要求，因为(x²-1)还能分解成(x+1)(x-1)。

　　（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。

　　3.因式分解的一般步骤：

　　可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

　　（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。

　　（2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x²+(p+q)x+pq型分解。

　　（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。

　　（4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。

　　只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。

因式分解综合测试

　　一、填空题

　　(1)x²+2x-15=(x-3)(_____)

　　(2)6xy-x²-5y²=-(x-y)(_____).

　　(3)________=(x+2)(x-3).

　　(4)分解因式x²+6x-7=__________.

　　(5)若多项式x²+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=_____, c=_____.

　　(6)若x²+7x=18成立，则x值为_____。

　　(7)若x²-3xy-4y²=0，且x+y≠0，则x=_____.

　　(8)(x-y)²+15(x-y)+14=(_____+1)(x-y+_____).

　　(9)多项式 x²+3x+2, x²-2x-8, x²+x-2的公因式为_____。

　　(10)已知a, b为整数，且m²-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=_____,b=_____.

　　二、选择题

　　(1)若x²+2x+y²-6y+10=0，则下列结果正确的是（　　 ）。
　　 A、x=1, y=3　　B、x=-1,y=-3　　C、x=-1,y=3　　D、x=1,y=-3

　　(2)若x²-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（　　 ）。
　　 A、15　　B、-15　　C、14　　D、-14

　　(3)如果3a-b=2,那么9a²-6ab+b²等于（　　 ）。
　　 A、2　　B、4　　C、6　　D、8

　　(4)若x+y=4, x²+y²=6，则xy的值是（　　 ）。
　　 A、10　　B、5　　C、8　　D、4

　　(5)分解因式(x²+2x)²+2(x²+2x)+1的正确结果是（　　 ）。
　　 A、(x²+2x+1)²　　B、(x²-2x+1)²　　C、(x+1)⁴　　D、(x-1)⁴

　　(6)-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（　　 ）。
　　 A、4x²-y²　　B、4x²+y²　　C、-4x²-y²　　D、-4x²+y²

　　(7)若x²+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（　　 ）。
　　 A、-5　　B、7　　C、-1　　D、7或-1

　　(8)已知x³-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（　　 ）。
　　 A、(x+4)(x-2)²　　B、(x+4)(x²+x+1)
　　 C、(x+4)(x+2)²　　D、(x+4)(x²-x+1)

　　三、因式分解

　　(1) x(x+y+z)+yz　　　(2) x^2m+x^m+

　　(3) a²b²-a²-b²-4ab+1

　　(4) a²(x-y)²-2a(x-y)³+(x-y)⁴

　　(5) x⁴-6x²+5

　　(6) x⁴-7x²+1　　　(7) 3a⁸-48b⁸

　　(8) x²+4y²+9z²-4xy-6xz+12yz

　　四、解答题

　　1.已知a²+9b²-2a+6b+2=0，求a,b的值。

　　2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x⁴+12x³-18x²的值都不会是正数。

　　3.已知n为正整数，试证明(n+5)²-(n-1)²的值一定被12整除。

　　4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x²+3y²; (2) (x-y)².

　　5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a²-b²-c²-2bc<0.

　　五、利用因式分解计算：

　　(1)已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a²+2ab-b²+2=0，求长方形面积。

　　(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。

　　

　　(3)如图2，在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当R=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三位有效数字）。

　　

　　答案：

　　一、(1) x+5　　(2) x-5y　 (3) x²-x-6

　　(4) (x+7)(x-1)　　(5) -1, -12　　(6) -9或2

　　(7) 4y　　(8) x-y, 14　　(9) x+2　　(10) -6或1，1或-6

　　二、(1)C　　(2)C　　(3)B　　(4)B　　(5)C　　(6)D　　(7)D　　(8)A

　　三、(1) (x+y)(x+z)　　 (2) (x^m+)²

　　(3) (ab-1-a-b)(ab-1+a+b)

　　(4) (x-y)²(a-x+y)²

　　(5) (x+1)(x-1)(x²-5)

　　(6) (x²+3x+1)(x²-3x+1)

　　(7) 3(a⁴+4b⁴)(a²+2b²)(a²-2b²)

　　(8) (x-2y-3z)²

　　四、1、a=1, b=-

　　2、证明：-2x⁴+12x³-18x²=-2x²(x²-6x+9)=-2x²(x-3)²≤0.

　　3、证明：(n+5)²-(n-1)²=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2).
　　∴ (n+5)²-(n-1)²能被12整除。

　　4、(1) 30　 (2) 4

　　5、提示：将求证左边分组分解成四个整式乘积，然后利用已知条件对每个因式的符号进行讨论。

　　五、(1) 由题意得
　　a+b=8, (a-b+1)(a-b-2)=0,
　　∴ a-b=-1或a-b=2.
　　∵ a与b是整数，　∴a-b=-1不合题意。
　　∵ a-b=2,　∴ a=5, b=3.
　　∴ ab=15，即长方形的面积为15cm²。

　　(2) 3.36　　 (3) 176cm²

因式分解综合检测

　　1．填空（每题2分，共10分）：

　　(1) 用简便方法计算：565²×24-435²×24=(　　　　)

　　(2) 0.25x²-(　　　　)y²=(0.5x+4y)(0.5x-4y)

　　(3) x²+　　　　x+16=(x+　　　　)(x+8)

　　(4) a²+ab+　　　　=(　　　　)²

　　(5) (　　　　)(　　　　)(　　　　)(a⁴+b⁴)=a⁸-b⁸

　　2．判断正误（每小题2分，共14分）：

　　(1)因式分解：
　　①5m+5n-7=5(m+n)-7; 　　　　(　 )
　　②3x(x+y)(x-y)-6x=3x(x²-y²-2). 　　　　(　 )

　　(2)把2ax+10ay+5by+bx分解因式，按下列方法分组，进行分解：
　　①原式=(2ax+10ay)+(5by+bx);　　　　(　 )
　　②原式=(2ax+5by)+(10ay+bx);　　　　(　 )
　　③原式=(2ax+bx)+(10ay+5by).　　　　(　 )

　　(3)a²+b²-2ab+4a-4b+3=(a-b)²+4(a-b)+3=(a-b+1)(a-b+3).　　　　(　 )

　　(4)已知x+y=, xy=5,求9x²+9y²的值。
　　解：∵ x+y=, xy=5,
　　∴ (x+y)²=, x²+y²=(x+y)²-2xy=-2×5=.
　　则9x²+9y²=9(x²+y²)=9×=106. 　　　　(　 )

　　3．选择（每题3分，共12分）：

　　(1)若(x-4)(x+7)是二次三项式x²+ax-28，那么a的值是（　 ）。
　　A、3　　　B、-3　　　C、11　　　D、-11

　　(2)代数式x⁴-81, x²-6x+9的公因式（　 ）。
　　A、(x+3)　　　B、(x+3)²　　　C、x-3　　　D、x²+9

　　(3)81-x^k=(9+x²)(3+x)(3-x)，那么k的值是（　 ）。
　　A、k=2;　　　B、k=3；　　　C、k=4；　　　D、k=6

　　(4)9x²+mxy+16y²是一个完全平方式，那么m的值是（　 ）。
　　A、12　　　B、-12　　　C、±12　　　D、±24

　　4．把下列各式分解因式（每题5分，共25分）：
　　(1) 8a²-2b²　　 　(2) a³-2a²b+ab²
　　(3)4xy²-4x²y-y³　　 　(4)x²-x-12
　　(5)1+

　　5．分解下列各式（每题5分，共20分）
　　(1)（x-y)²-5(x-y)-14; 　　　　　　　　　　　
　　(2)a²-b²+2(ax-by)+x²-y² 　　　　　　
　　(3)x²+6xy+9y²-4m²+4mn-n²
　　(4)(x²+3x-2)(x²+3x+4)-16

　　6.（本题4分）已知: x+y=,x+3y=1, 求3x²+12xy+9y²的值。
　　（本题5分）已知: x=, y=, 求(x+y)²-(x-y)²的值。
　　（本题5分）已知: xy=5, a-b=6, 求xya²+xyb²-2abxy的值。(共14分)

　　7.（本题5分）试证明5²³-5²¹能被120整除。

　　[本章综合检测题答案]

　　1.(1)3120000　　 (2)16　　(3)10.2　　 (4),a+　　 (5)a+b, a-b, a²+b².

　　2.(1)①× ②√　　　(2)①√　②×　③√　　　(3)√　　 (4)√

　　3.(1)A;　 (2)C;　 (3)C;　 (4)D.

　　4.(1)2(2a-b)(2a+b)　　　 (2)a(a-b)²　　 (3)-y(2x-y)²
　　(4)(x-4)(x+3)　　 (5)(1-)²　　

　　5.(1)(x-y-7)(x-y+2)　

　　(2)(a+x+b+y)(a+x-b-y)　　　提示：按照（a²+2ax+x²）-(b²+2by+y²)分组　　

　　(3)(x+3y+2m-n)(x+3y-2m+n)　　　提示：前后三项各按照完全平方分解，再利用平方差公式。

　　(4)(x²+3x+6)(x+4)(x-1)　　　提示：将（x²+3x）看成一个整体，先乘开，再分解。

　　6.（1），　　 （2），　　（3）180　　　　

　　7.5²³-5²¹=5²¹(25-1)=24×5²¹=120×5²⁰.

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