正余弦定理的一道题

锐角三角形ABC中，b=1，c=2，则a的取值范围是？

提示：
由余弦定理可知cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(5-c^2)/4
因为是锐角三角形，所以可知0<cosC<1
即(5-c^2)/4<1
可解得c>1
又必须满足两边之和大于第三边，所以有c<a+b
即c<3
所以第三边c的取值范围为(1,3)

解：cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)= ﹙1²＋2²﹣a²﹚／(2×2×1)=(5- a²)/4

因为A为锐角

故：0＜cosA＜1

故：0＜(5- a²)/4＜1

故：0＜5- a²＜4

故：-5＜- a²＜-1

故：1＜ a²＜5

因为a＞0

故：1＜a＜√5

同理：0＜cosC=(b²+a²-c²)/(2ab)=( a²+3)/(4a) ＜1，结合a＞0

可知：1＜a＜3

0＜cosB=(c²+a²-b²)/(2ac)=( a²-3)/(2a) ＜1，结合a＞0

可知√3＜a＜3

故：√3＜a＜√5

1＞cosA=﹙1²＋2²﹣a²﹚／2×2＞0

√5＞a＞1或﹣1＞a＞﹣√5

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