已知曲线C： x=2cosθ y=sinθ （θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐

已知曲线C： x=2cosθ y=sinθ （θ为参数），若A、B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意两点．（1）求AB的垂直平分线l在x轴上截距的取值范围；（2）设过点M（1，0）的直线l是曲线C上A，B两点连线的垂直平分线，求l的斜率k的取值范围．

（1）曲线C即：
x 2
4 +y 2 =1，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB的中点M（x 0 ，y 0 ），
则有
x 1 2
4 +y 1 2 ①，
x 2 2
4 +y 2 2 =1 ②，由①-②可得
x 1 2 - x 2 2
4 +y 1 2 -y 2 2 =0．
故AB的斜率k AB =
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =-
x 1 + x 2
4( y 1 + y 2 ) =-
2 x 0
4?2 y 0 =-
x 0
4 y 0 ．（2分）
l的方程y-y 0 =
4 y 0
x 0 （x-x 0 ），令y=0，x=
3
4 x 0 ．（4分）
∵-2＜x 0 ＜2，∴x∈（-
3
2 ，
3
2 ），即l在x轴上截距的取值范围为 （-
3
2 ，
3
2 ）．（6分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），AB的中点M（x 0 ，y 0 ）．由（1）可知k AB =-
x 0
4 y 0 ，∴k=
4 y 0
x 0 ．
∵M在直线l上，∴y 0 =
4 y 0
x 0 （x 0 -1）．∵y 0 ≠0，∴x 0 =
4
3 ．（8分）
∵M（x 0 ，y 0 ）在椭圆内部．∴
x 0 2
4 +y 0 2 ＜1，即

16
9
4 +y 0 2 ＜1．（10分）
故有-



5
3 ＜y 0 ＜



5
3 且y 0 ≠0．  再由 k=
4 y 0
x 0 =
4 y 0

4
3 =3y 0 ．
可得-


5 ＜k＜


5 且k≠0，即l的斜率k的取值范围为{k|-


5 ＜k＜


5 且k≠0}．（12分）

曲线c： x＝2cosθ y＝2sinθ (θ为参数）即 x2+y2=4，∵|ma|，|ab|，|mb|成等比数列，∴|ab|2=|ma|?|mb|， 故|ab|等于圆的切线长，故|ab|= 10?4 = 6 ． 设直线l的方程为y=k（x- 10 ），即 kx-y-k 10 =0，故弦心距d= |0?0?k 10 | k2+1 ． 由弦长公式可得|ab|=2 评论| youlovea工|四级采纳率63% 擅长：暂未定制 其他类似问题

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