高一数学圆的问题

已知点A（-1，2）为圆心的圆与直线L1：X+2Y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线L与圆A相交与M，N两点，Q是MN中点，直线L与L1相交于点P。

（1）求圆A的方程。

（2）当MN=2√19时，求直线L的方程。

（3）向量BQ×向量BP是否为定值，如果是求出定值。

解：设圆心O

[1]：∵A（-1，2）为圆心的圆与直线L1：X+2Y+7=0相切

∴A到L1的距离为半径R

R=（-1+4+7)的绝对值／√5=√20

∴圆的方程为（x+1)²+(y-2）²=20

【2】∵MN=2√19 即QM或QN为√19

而Q为MN中点  即OQ垂直MN

∴OQ=√(20-19)=1

设L为y=kx+b  (k≠0)

而其过B（-2，0）

∴可变为y=kx+2k

又∵O到L的距离为1

即（2-k)的绝对值／√（k²﹢1=1  得k为4／3

解得L为3x-4y+6=0

[3]向量BQ×向量BP=向量BQ的模乘向量BP的模乘cos夹角

而其共线    即值为向量BQ的长度乘向量BP的长度

而其值为正  不妨设t=（向量BQ的长度乘向量BP的长度）²

设L=y=kx+2k

OQ²=（k²-4k+4)／(k²+1)    (用点到直线距离可求的）

而OB²=5

∴QB²=OB²-OQ²=（4k²+4k+1)／(k²+1)

通过直线L与L1相交于点P可把P表示出来为x=（-7-4k)／(2k+1)    y=(-10k)／(2k+1)

则BP²可表示为（25k²+25)／(k²-4k+4)

∴t=BP²×QB²=25

∴向量BQ×向量BP为定值    定值为5

这题你可以先画个图，再结合我的思路，应该就行了。

采纳我吧，我十分认真仔细的做了。没发现有问题。

谢谢。

第一问答案是（x+1）^2+（y-2）^2=20

第二问答案是    3X-4Y+6=o

第三问不知道怎么做了。。第三问的意思是不是第2问求出的结果能用到第三问？

设P(x,y),则当P,A不重合时，OP与PA垂直 所以OP²＋PA²＝0A² 即x²＋y²＋（x－1）²＋（y－2）²＝5 x²－x＋y²－2y＝0 把A的坐标代入，方程成立 所以所求的轨迹方程是x²－x＋y²－2y＝0

先利用点到直线公式求出半径，就可以写出圆的方程

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