一道关于数列的数学题

当数列{a(n0}, {b(n)}是项数相同的两个等差数列时，数列{pa(n)+qb(n)}(其中p,q是常数）是等差数列吗？

请说明理由，谢谢！

 

an = a1 + (n - 1)d

bn = b1 + (n - 1)c (c为公差)

pan + qbn = pa1 + (n - 1)pd + qb1 + (n - 1)qc

= pa1 + qb1 + (n - 1)(pd + qc)

首项为pa1 + qb1，公差为(pd + qc)，所以说{pa(n) + qb(n)}也为等差数列。

解：

数列{a(n)}是等差数列，

则公差da=an-a(n-1)，且为常数。

数列{a(n)}, {b(n)}是等差数列，

则公差db=bn-b(n-1)，且为常数。

对于数列{pa(n)+qb(n)}(其中p,q是常数），n≥2时，

(pan+qbn)-[pa(n-1)+qb(n-1)]

=pan+qbn-pa(n-1)-qb(n-1)

=p[an-a(n-1)]+q[bn-b(n-1)]

=pda+qdb.

因da、db、p、q均为常数，

则pda+qdb为常数，

那么数列{pa(n)+qb(n)}为等差数列。

已知{an},{bn}是项数相同的两个等差数列，那么{pan+qbn}(其中p,q是常数）是不是等差数列？

{pan+qbn}(其中p,q是常数）是等差数列
设{cn}={pan+qbn}
有c(n+1)=pa(n+1)+qb(n+1)
c(n)=pa(n)+qb(n)
d=c(n+1)-c(n)=pa(n+1)+qb(n+1)-pa(n)-qb(n)=p(a(n+1)-a(n))+q(b(n+1)-b(n))=pd(a)+qd(b)
首项是pa1+qb1

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