如何理解函数可以看成是一个无限维的向量

如何理解函数可以看成是一个无限维的向量

其实X（w）只是一个叠加系数，你只要理解傅里叶变换的本质就明白了
这样给你解释傅里叶可能会容易懂一点：
首先我们知道线性代数里，一个N维的向量（F）可以由N个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。
好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。
而sin nx 和 cos nx就是这个空间里的一组正交基底！！按这种点乘的定义他们相互正交！！（现在你明白为什么他们要积分出来个0了吧）
所以这就是傅里叶变换的精髓了，任何一个函数都能由这些相互正交的基底叠加出来，而叠加系数怎么求呢？就是前面说的点乘各基底（所以这就是为什么求叠加系数是用被展开函数去和这些sin cos积分）
最后注意一个问题就是基底要归一，归一就是基底的模长要等于1，模长就是自己点乘自己

普通的函数根本不能看作是向量，只有满足特定条件的函数才能称为向量

考虑 是一个 维向量空间， 是 上的一个函数（线性泛函），我们可以证明对于任意这样的函数 ，存在唯一的 ,使得 ,后者是 的内积。 为何呢？取 作为 的基，只要取 ,其中 就可以了。 这说明有限维空间上的任何映到 上的映射实际上可以看成该空间上的一个向量。 注意到 上的维度只有有限个。从另一个角度来说，只要 这 个数，就完全可以确定一个 上的函数 了。我们可以直观的理解为 上的函数有 个自由度，或是说是 维的。

函数中的元（常见的x y 之类）表示未知数 在坐标系中 又可以表示方位。 向量：有数值又有方向的量 所以 你说的用坐标可以更好解释 由于元是可以无穷定义的，坐标系中的方位也是无穷的（这里元即未知数 和 方位即函数的几何表示中的未知数是一个东西，表现形式不同而已）。所以函数又可以看成是一个无线维的向量。

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