设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a∈R设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2

设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a∈R设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2

(1)定义域x > 0f'(x) = 1/x + 2x - 2a = (2x² - 2ax + 1)/x = 02x² - 2ax + 1 = 0判别式∆ = 4a² - 8(i) ∆ ≤ 0,a² ≤ 22x² - 2ax + 1为开口向上的抛物线,与x轴最多有一个公共点,在定义域内f'(x) ≥ 0,f(x)在[1/2,2]上单调递增(ii) ∆ > 0,a² > 22x² - 2ax + 1为开口向上的抛物线,与x轴有2个公共点x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2若f(x)函数在[1/2,2]上单调递增,只须x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1或 x₂ = [a + √(a² - 2)]/2x₁ = [a - √(a² - 2)]/2 > 1,a - √(a² - 2) > 2a - 2 > √(a² - 2) ( 须a - 2 > 0才有意义)a² - 4a + 4 > a² - 2a 与a - 2 > 0矛盾,舍去x₂ = [a + √(a² - 2)]/2 a + √(a² - 2) √(a² - 2) 0才有意义)a² - 2 2a 结合前提1 - a > 0得a 再结合大前提a² > 2,得a 结合(i)(ii):a ≤ √2(2)(i) a² ≤ 2时无极值点(ii) a² > 2x₁ = [a - √(a² - 2)]/2,x₂ = [a + √(a² - 2)]/2f(x₁)为极大值,f(x₂)为极小值f(x₁) = ln[a - √(a² - 2)] - ln2 + [a + √(a² - 2)]²/4 = lnx₁ + x₂²f(x₂) = ln[a + √(a² - 2)] - ln2 + [a - √(a² - 2)]²/4 = lnx₂ + x₁²

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