设f(x)f'(x)=x,f(x)>0,且f(1)=根号2,求f(x)

用凑微分的方法计算

等式两边同时积分
∫f(x)f'(x)dx=∫xdx
∫f(x)df(x)=x^2/2+c
f^2(x)/2=x^2/2+c
将f(1)=根号2带入 1=1/2+c c=1/2
f^2(x)/2=x^2/2+1/2
f^2(x)=x^2+1 又f(x)>0 所以
f(x)=√(x^2+1)

记y=f(x),则y'=f(x),方程变为 yy'=x+x^3, ∴2ydy=(2x+2x^3)dx, 积分得y^2=x^2+(1/2)x^4+c, x=0时y=1/√2， ∴c=1/2, ∴y^2=x^2+(1/2)x^4+1/2，y>0, ∴y=√[x^2+(1/2)x^4+1/2], ∴f(x)=y'=(x+x^3)/√[x^2+(1/2)x^4+1/2].

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