第一题,求微分方程y+y=3x^2的通解,第二题：求微分方程y'-(y-x)^2=1的通解就是大学所

第一题,求微分方程y+y=3x^2的通解,第二题：求微分方程y'-(y-x)^2=1的通解就是大学所

1.∵原方程的特征方程是r²+1=0,则特征根是r=±i∴原方程的齐次方程的通解是y=C1cosx+C2sinx (C1,C2是积分常数)设原方程的特解是y=Ax²+Bx+C∵y'=2Ax+B,y''=2A代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=3x²==>A=3,B=0,2A+C=0 (比较同次幂的系数)==>A=3,B=0,C=-6∴原方程的特解是y=3x²-6故原方程的通解是y=C1cosx+C2sinx+3x²-6 (C1,C2是积分常数)2.设u=y-x,则y'=u'+1代入原方程得u'+1-u²=1==>u'-u²=0==>du/u²=dx==>1/u=-x+C (C是积分常数)==>u=1/(C-x)==>y-x=1/(C-x)故原方程的通解是y=x+1/(C-x) (C是积分常数)======以下答案可供参考======供参考答案1:第一个，首先求特征值（T~2+1=0），为正负i，那么齐次方程的解为C1SinX+C2CosX(C1,C2为常数)。再求特解，设y*=AX~2+BX+C，代入原方程求得A=3.B=-6.C=0，则原方程的解为齐次方程的解再加上特C1SinX+C2CosX+3X~2-6X。第二个,设U=X+Y,则U`＝1+Y`,原式化为：1-U`-U~2＝1,即dU/dX＝U~2，是可以分享变量的一阶方程，不难解出1/U=-X+C,再把U=X+Y代入，即是通解。

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