求证：（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn

求证：（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn．

这个题目有简单的证明方法。纯代数方法不太好证。
问题：假设一个篮子里共有n个红球和n个篮球，则从篮子里取出n个球的组合共有多少种？
这个问题有两个思路去解，第一种是最简单的就是C2nn；
第二种思路的话就是分类，按照取出n个球中篮球的个数共分为（n+1）种，如下：
篮球个数为0的种类为[Cn0]×[Cnn]=（Cn0)2
篮球个数为1的种类为[Cn1]×[Cn（n-1）]=(Cn1)2
……
……
篮球个数为m的种类为[Cnm]×[Cn(n-m)]=（Cnm)2

则从篮子里取出n个球的组合数=（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2
显然此和式=C2nn
我想这个你应该能理解，很容易的。

证明：由（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，两边展开得： （Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnm-1xn-1+Cnnxn）?（Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnn-1xn-1+Cnnxn）=C2n0+C2n1x+C2n1x2+…+C2n2nx2n 比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有： Cn0?Cnn+Cn1?Cnn-1+Cn2?Cnn-2+…+Cnn?Cn0=C2nn 由Cnr=Cnn-r， 得（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn．

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