F(x,y)可微,F(x,y)=f(x)+g(y),当x=rcosa,y=rsina时,F(x,y)=s(r),试求F(x,y)表达式

F(x,y)可微,F(x,y)=f(x)+g(y),当x=rcosa,y=rsina时,F(x,y)=s(r),试求F(x,y)表达式

当x=rcosa,y=rsina时，F(x,y)=F(rcosa,rsina)=f(rcosa)+g(rsina)，由于F可微，求出F的全微分，dF=[cosaf'(rcosa)+sinag'(rsina)]dr+[-rsinaf'(rcosa)+rcosag'(rsina)]da，由于F(x,y)只是r的函数s(r)，即F对a的偏导数等于0，根据全微分的定义，可知-rsinaf'(rcosa)+rcosag'(rsina)=0，化简得g'(rsina)/f'(rcosa)=tana，换回用x,y的表达式，有g'(y)/f'(x)=y/x，分离变量得g'(y)/y=f'(x)/x，注意这式子两端分别是关于y和x的函数，一般情况下不可能相等，若相等只能它们都等于某常数，即g'(y)/y=f'(x)/x=2C，因此g'(y)=2Cy，从而g(y)=Cy^2，同理f(x)=Cx^2，因此F(x,y)=C(x^2+y^2)。

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