如图OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,求证OC=OD,OE垂直平分CD

如图OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,求证OC=OD,OE垂直平分CD

证明：
∵EC⊥OA，ED⊥OB
∴∠OCE=∠ODE=90º
又∵∠COE=∠DOE，OE=OE
∴⊿OCE≌⊿ODE（AAS）
∴OC=OD
即⊿OCD是等腰三角形，且OE是顶角平分线，根据三线合一，OE也是底边中垂线
∴OE垂直平分CD

∠aoe=∠boe ∠eco=∠edo oe=oe △coe≌△doe oc=od设cd与oe交于f oc=od ∠aoe=∠boe of=of △ocf≌△odf cf=df ∠cfo=∠dfo 又两角相加180°，则各为90°

△CEO与△EOD均为直角三角形 且 OE=OE ∠COE=∠EOD 则△CEO≌△EOD 则OC=OD 连接CD交OE于F 在△OFC与△OFD中 OF=OF ∠COE=∠EOD OC=OD 则 △OFC≌△OFD 则 CF=FD △CEO与△EOD均为直角三角形 且斜边均为OE 则OCED四点共圆 且OE为直径 设圆心为H 则△CDH中 OC=OD=圆的半径 F为CD中点 则等腰△HCD中 底边的中线HF垂直于底边CD 则OE垂直平分CD

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