求函数y=log 2 [x^2+1/(x^2+2)]的最小值
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解决时间 2021-05-25 11:46
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-05-25 00:05
求函数y=log 2 [x^2+1/(x^2+2)]的最小值
最佳答案
- 五星知识达人网友：鸠书
- 2021-05-25 00:17
∵x²≥0
∴x²+2≥2
∴0＜1/(x²+2)≤1/2
∴-1/2≤-1/(x²+2)＜0
∴1/2≤1-1/(x²+2)＜1
即1/2≤[x²+1/(x²+2)]＜1
又f(x)=log2[x²+1/(x²+2)]在定义域内为单调递增函数
∴log2(1/2)≤log2[x²+1/(x²+2)]＜log2(1)
即-1≤log2[x²+1/(x²+2)]＜1
∴函数f(x)的最小值是-1
∴x²+2≥2
∴0＜1/(x²+2)≤1/2
∴-1/2≤-1/(x²+2)＜0
∴1/2≤1-1/(x²+2)＜1
即1/2≤[x²+1/(x²+2)]＜1
又f(x)=log2[x²+1/(x²+2)]在定义域内为单调递增函数
∴log2(1/2)≤log2[x²+1/(x²+2)]＜log2(1)
即-1≤log2[x²+1/(x²+2)]＜1
∴函数f(x)的最小值是-1
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- 1楼网友：狂恋
- 2021-05-25 03:09
外层函数是增函数，找内层最小值。XΛ2+2+(1/xΛ2+2)-2后用均值不等式，最小为零，但此时XΛ2为负一，舍，又由对勾函数单调性，xΛ2取零时最小，此时内层最小为二分之一，全函数最小值负一
- 2楼网友：第四晚心情
- 2021-05-25 02:14
－1
- 3楼网友：慢性怪人
- 2021-05-25 00:41
x^2+1/(x^2+2)= 1-1/(x^2+2)有最小值1/2 ，在x=0取得
所以，最小值为- 1
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