已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）上恒

已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜sinxx＜b对x∈（0，π2）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

（1）由f（x）=xcosx-sinx得
f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
此在区间∈（0，
π
2 ）上f′（x）=-xsinx＜0，
所以f（x）在区间∈[0，
π
2 ]上单调递减，
从而f（x）≤f（0）=0．
（2）当x＞0时，“
sinx
x ＞a”等价于“sinx-ax＞0”，“
sinx
x ＜b”等价于“sinx-bx＜0”
令g（x）=sinx-cx，则g′（x）=cosx-c，
当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，
π
2 ）上恒成立，
当c≥1时，因为对任意x∈（0，
π
2 ），g′（x）=cosx-c＜0，
所以g（x）在区间[0，
π
2 ]上单调递减，
从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，
π
2 ）恒成立，
当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，
π
2 ）使得g′（x0）=cosx0-c=0，
g（x）与g′（x）在区间（0，
π
2 ）上的情况如下：
x  （0，x0）  x0  （x0，
π
2 ）
g′（x） +   -
g（x） ↑   ↓ 因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，
π
2 ）恒成立，
当且仅当g(
π
2 )＝1?
π
2 c≥0即0＜c≤
2
π
综上所述当且仅当c≤
2
π 时，g（x）＞0对任意x∈（0，
π
2 ）恒成立，
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，
π
2 ）恒成立，
所以若a＜
sinx
x ＜b对x∈（0，
π
2 ）上恒成立，则a的最大值为
2
π ，b的最小值为1

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