三年级参加空竹表演的同学排成一个两层的空心方阵，最外面一层每边有12人，参加空竹表演的同学一共有多

三年级参加空竹表演的同学排成一个两层的空心方阵，最外面一层每边有12人，参加空竹表演的同学一共有多少人？

4乘2乘12-2乘4

设从外向里数,第1层(即最外层)每边人数为k,则第2层每边人数为k-2,最3层每边人数为k-4... 第1层总人数4k-4(去掉重复的4个顶点) 第2层总人数4(k-2)-4=4k-12(去掉重复的4个顶点) 第3层总人数4(k-4)-4=4k-20(去掉重复的4个顶点) ... 可以观察到,4k-4,4k-12,4k-20...是一个等差数列 令最1层总人数为m=4k-4,总层数为n 则第1层...第n层的每层总人数分别为: m,m-8,m-16,...m-8n+8 全部人数=(m+m-8n+8)*n/2=mn-4n^2+8n 已知总人数为576人 即 mn-4n^2+4n=576 m=(576+4n^2-4n)/n=576/n+4n-4 576/n+4n-4=4k-4 k=144/n+n 由此式可知,当n为144的因数时k有整数解 144的因数有:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144 此外,还应有最内层总人数=m-8n+8=4k-4-8n+8=4k+4-8n>0 所以n<(k+1)/2 当n=1时,k=145人 当n=2时,k=74人 当n=3时,k=51人 当n=4时,k=40人 当n=6时,k=30人 当n=8时,k=26人 当n=9时,k=25人 当n=12时,k=12人,(k+1)/2<n与前面冲突,之后的因数代入结果与此相同,舍去 注:n是层数,k是最外层每边人数

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