设函数f(x)=½x平方＋lnx-mx（m＞0） 1，求f(x)的单调区间 2.求f(x)的零点个

设函数f(x)=½x平方＋lnx-mx（m＞0）
1，求f(x)的单调区间
2.求f(x)的零点个数

解：
第一问：求单调区间
f(x)=(1/2)x²+lnx-mx
定义域：(0，+∞)
f'(x)
=[(1/2)x²+lnx-mx]'
=x+1/x-m
=(x²-mx+1)/x
由于x>0，所以只关注x²-mx+1的正负性
Δ=m²-4
(1)当0 ∴ f'(x)≥0，f(x)单调递增
（2)当m>2时，
x>m/2+√(m²/4-1)或x0
∴ f'(x)≥0，f(x)单调递增
m/2-√(1-m²/4) ∴ f'(x)<0，f(x)单调递减
第二问：求零点个数
(1/2)x²+lnx-mx=0
lnx/x=m-(1/2)x
令y1=lnx/x，y2=m-(1/2)x
在同一xoy坐标系下分别作出y1和y2的图像，见附图。
由图像可以看出，y1和y2仅有一交点
∴ (1/2)x²+lnx-mx=0仅有一实根
∴ f(x)=(1/2)x²+lnx-mx只有一个零点

m=(e^x-lnx)/,+无穷)，仅参考，觉得行可采纳,仅有唯一驻点x=1;0分析：注意到定义域x>0,f(x)=e^x-mx，g(x)=e^x-mx-lnx+x^2,由题g(x)=0存在两个零点,从而要使直线y1=m与曲线y2=h(x)=(e^x-lnx)/x+x,(x>0)(图像为u型）)有两交点,有两根;(x)的分子为f(x)=xe^x-e^x+lnx+x^2-1，h'(x)=f(x)/,(x>x+2x>f(1)=0,得h',并有h(x)在x=1处取得极小值，且此极小值必为其最小值，于是minh(x)=h(1)=e+1;(x)<0，h(x)单减;(x)=0，分离常数m，即e^x-mx-lnx+x^2=0;x+x;f(1)=0,得h'(x)的符号，注意到h',f(x)<0)知f(x)在x>0上单增。显然有当00)有两交点;1;1,求导得h'(x)=(xe^x-e^x+lnx+x^2-1)/,f(x)>x^2;x^2。于是h'当x>,下面判断h'，易得m取值范围为:(e+1,并记h'.对f(x)求导易得f'(x)=xe^x+1/(x)>0,h(x)单增，且f(1)=0;(1)=0

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