高一数学抽象函数的习题

已知f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)
(1)求f(1)的值
(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2

由定义域知x＞0
f（x/y)=f(x)-f(y),
令y=1得f(x)=f(x)-f(1),
又f(x)在（0,+∞）上的增函数，则f(1)=0
又f(1/x)=f(1)-f(x)=-f(x)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2可化为
f(x+3)+f(x)<2
再化为f(x+3)-1<1-f(x)
即f(x+3)-f(6)<f(6)-f(x)
即f(x+3/6）＜f（6/x）
则0＜(x+3）/6＜6/x
解得0＜x＜（3根号17 -3）/2

由已知f(xy)=f(x)+f(y) 若取x=y=1 可得f(x)=1 记为一式

由上一行的已知 不等式左边化为f(x(x-3)) 由f(1/2)=1 得 -2=-f(1/4)

不等式化成 f(x(x-3)>=-f(1/4) 移项再由第一行的已知得 f［x(x-3)/4］≥0 由题目得 该函数在定义域是减函数

由一式得 x(x-3)/4≤1 剩下的自己解决 估计你能行 加油

（1）设x=y，则f（1）=0 （2）有题意可知 f(1/x)=f(1)-f(x)，代入原不等式得 f(x+3)+f(x)<f(6)+f(6) 又因f（x）在（0，+∞)上为增函数，故 （x+3）/6<6/x 解得0<x<（-3+sqrt（153））/2

f(x/y)=f(x)-f(y) f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0 f(6)=1 f(x+3)-f(1/x)<2 f((x+3)/(1/x))<2 f(x(x+3))<2 f(x(x+3))<2f(6) f(x(x+3))-f(6)<f(6) f(x(x+3)/6)<f(6) x(x+3)/6<6 x^2+3x-36<0 （-3-3根号17）/2<x<（-3＋3根号17）/2 因为 f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数 所以不等式的解为 0<x<（-3＋3根号17）/2

解：（1）令x=2 y=1得f（2）=f（2）-f(1) 则f(1)=0 （2）因为f（x）在定义（0，+∞）是增函数 所以f（x-3）-2<f(1/x) 因为f（6）=1所以2=2f（6） 所以f（x-3）-f(6)-f(6)=f((x-3)/6)-f(6)=f((x-3)/36)<f(1/x) 因为f(x)在定义（0，+∞）是增函数 所以f(6)=1 f(x+3)-f(1/x)<2 f((x+3)/(1/x))<2 f(x(x+3))<2 f(x(x+3))<2f(6) f(x(x+3))-f(6)<f(6) f(x(x+3)/6)<f(6) x(x+3)/6<6 x^2+3x-36<0 （-3-3根号17）/2<x<（-3＋3根号17）/2 因为 f(x)是定义在（0，+∞)上的增函数 所以不等式的解为 0<x<（-3＋3根号17）/2

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