已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在...
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-03-17 20:03
- 提问者网友:那叫心脏的地方装的都是你
- 2021-03-17 11:16
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在点P使三角形pF1F2的三边构成等差数列求离心率的范围
最佳答案
- 五星知识达人网友:刀戟声无边
- 2021-03-17 12:49
根据对称性可知这样的P如果存在于某一象限内,那么四个象限肯定都有
不妨假设P点在第二象限,即|PF1|<|PF2|
∵|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=m,P(x,y),-a<x<0
∴|PF2|=2a-m
∴m<2a-m,即m<a
根据焦半径公式|PF1|=m=a+ex
①△PF1F2中,|F1F2|=2c为最大边
则|F1F2|+|PF1|=2|PF2|
即2c+m=2(2a-m)
得4a-2c=3m=3(a+ex)
x=(a-2c)/(3e)
∵-a<x<0
∴-a<(a-2c)/(3e)<0
解得1/2<e<1
②△PF1F2中,|F1F2|=2c为最小边
则|F1F2|+|PF2|=2|PF1|
即2c+2a-m=2m
2c+2a=3m=3(a+ex)
x=(2c-a)/(3e)
∵-a<x<0
∴-a<(2c-a)/(3e)<0
解得1/5<e<1/2
③△PF1F2中,|F1F2|=2c为中间(不是最大边,也不是最小边)
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
又|PF1|+|PF2|=2a
∴2a=4c
即e=1/2 (此时△PF1F2为等边三角形)
综上1/5<e<1
不妨假设P点在第二象限,即|PF1|<|PF2|
∵|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=m,P(x,y),-a<x<0
∴|PF2|=2a-m
∴m<2a-m,即m<a
根据焦半径公式|PF1|=m=a+ex
①△PF1F2中,|F1F2|=2c为最大边
则|F1F2|+|PF1|=2|PF2|
即2c+m=2(2a-m)
得4a-2c=3m=3(a+ex)
x=(a-2c)/(3e)
∵-a<x<0
∴-a<(a-2c)/(3e)<0
解得1/2<e<1
②△PF1F2中,|F1F2|=2c为最小边
则|F1F2|+|PF2|=2|PF1|
即2c+2a-m=2m
2c+2a=3m=3(a+ex)
x=(2c-a)/(3e)
∵-a<x<0
∴-a<(2c-a)/(3e)<0
解得1/5<e<1/2
③△PF1F2中,|F1F2|=2c为中间(不是最大边,也不是最小边)
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4c
又|PF1|+|PF2|=2a
∴2a=4c
即e=1/2 (此时△PF1F2为等边三角形)
综上1/5<e<1
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- 1楼网友:独钓一江月
- 2021-03-17 13:12
a(0,b),f2(c,0),f1(-c,0),设b(x,y),
则 af2=(c,-b),f2b=(x-c,y),
由af2=2f2b得 c=2(x-c),-b=2y,
所以b(3c/2,-b/2)
代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 (1)
又af1*ab=(-c,-b)*(3c/2,-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2)
所以,由(1)(2)及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3,b^2=2,c^2=1,
因此,椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.
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