A,B均为正定矩阵，且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1，λ2...λn；μ1，μ2，...μn。证明AB特征值 为λiμi

A,B均为正定矩阵，且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1，λ2...λn；μ1，μ2，...μn。证明AB特征值 为λiμi

只能证明存在λ1，λ2...λn；μ1，μ2，...μn的一种排列方式使得AB特征值 为λiμi

证明，设xi是对应λi的A的特征向量
则Axi=λixi
ABxi=BAxi=Bλixi=λiBxi
所以Bxi也是A的特征值为λi的特征向量
所以必须有Bxi=μixi
所以μi是B的特征值
ABxi=Aμixi=μiAxi=μiλixi
所以λiμi是AB的特征值追问谢谢了 但我认为这是当λ特征值为单值时成立，我想问下当λ为二重特征值时，即有x1；x2为λ线性无关的特征向量，能推导出Bx1；Bx2也为λ的线性无关的特征向量，但如何证明Bx1，Bx2，与x1，x2的的关系呢？我知道Bx1=μ1x1，Bx1=μ2x2；这种情况结论成立，但存不存在Bx1=k1x2，Bx2=k2x2这种情况呢？追答

只能说存在A和B的特征值的某种排列方式, 使得AB的特征值为λiμi, 不能事先指定任何一种排序

另外, i从1开始, 不然哪里来n+1个特征值

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