关于圆周角的问题

如图，A,B,C是⊙O上的三点，AB=AC，∠ABC的平分线交⊙O于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，BF和CF相交于D点，求证四边形AFDE是菱形。

证明：∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∴∠ABC/2=∠ACB/2

∴∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠BCF

∴AE=AF(圆周角相等,所对的弦相等)

∵弧BF所对的圆周角∠BAF=∠BCF

∴∠BAF=∠ABE

∴AF∥DE

同理可得,AE∥DF

∴四边形AFDE是菱形

因为AB=AC

所以∠ABC=∠ACB,则角的一半也相等,即∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB,

则AE=CE=AF=BF(圆周角相等,所对的弦相等)

连接CE,BF,则∠ACE=∠ABE,

所以,∠ACE+∠ACF=∠CBE+∠FCB,即∠CDE=∠DCE

所以,DE=CE,同理可得,DF=BF,

所以,AF=FD=DE=AE,则四边形AFDE为菱形

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