a+b+c=1 求证（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²≥100/3
答案:2 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-03-24 16:16
- 提问者网友：城市野鹿
- 2021-03-24 11:07
a+b+c=1 求证（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²≥100/3
最佳答案
- 五星知识达人网友：往事埋风中
- 2021-03-24 11:47
(a+b+c)²=1 (a+b+c)²打开
（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²打开
算一下 即可
（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²打开
算一下 即可
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- 1楼网友：廢物販賣機
- 2021-03-24 12:06
有没有条件a,b,c>0???????如果没有，取a=-100000,b=100000,c=1不合题意
如果有：原式=1/3(（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²)X(1+1+1)
≥1/3(a+b+c+1/a+1/b+1/c)^2(柯西不等式)
由于1/a+1/b+1/c=(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)≥(1+1+1)^2=9(柯西不等式)
所以原式≥1/3(1+9)^2=100/3
证毕
如果有：原式=1/3(（a+1/a）²+（b+1/b）²+（c+1/c）²)X(1+1+1)
≥1/3(a+b+c+1/a+1/b+1/c)^2(柯西不等式)
由于1/a+1/b+1/c=(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)≥(1+1+1)^2=9(柯西不等式)
所以原式≥1/3(1+9)^2=100/3
证毕
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