证明x^101+x^51+x-1=0有且只有一个实根

证明x^101+x^51+x-1=0有且只有一个实根

分情况讨论，x^101+x^51+x-1=0
即 x(x^100+x^50+1)-1=0 ①
其中括号内x^100+x^50+1>0 (可根据判别式判断,或者凑成完全平方(x^50+1/2)^2+3/4>0 得证)

当x<0时，显然x(x^100+x^50+1)<0, ①式显然无实数解

当0≤x≤1时，显然x（x^100+x^50+1）单调增，且0≤x(x^100+x^50+1)≤3
因此根据连续函数的性质(介值定理)，必然存在且只有一个x0，
使得x0(x0^100+x0^50+1) = 1成立

当x>1时，显然x(x^100+x^50+1)>1，①式也无实数解

综上所述，x^101+x^51+x-1=0有且只有一个实根

证明y=2^x y=-x+2 则2^x+x-2=0的解就是这两个函数的交点 y=2^x是增函数 y=-x+2是减函数 所以最多一个交点： x=0，2^x<-x+2 x=1,2^x>-x+2 所以在(0,1)有交点 所以有一个解

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