用十进制表示某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍．求所有这样的自然数之和？

用十进制表示某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍．求所有这样的自然数之和？

设这个数的位数为n，（1）当n=1时，设个位为a，则16a=a，解得：a=0；（2）当n=2时，设个位、十位分别为a、b，则16（a+b）=10b+a，即6b+15a=0，∵a是从0到9的整数，b是从1到9的整数，∴左边大于0，不成立，舍去；（3）当n=3时，设个、十、百位分别为a、b、c，则16（a+b+c）=100c+10b+a，即6b+15a=84c，此时有可能成立；①当c≥3时，6a+15b≥252，∵a、b的最大值为9，∴6a+15b≤189，∴此时无解，舍去．②当c=2时，6b+15a=168，∵a、b的最大值为9，∴容易判断此时只有一组解a=8，b=8，即此时此数为288，③当c=1时，6b+15a=84，∴a=2，b=9或a=4，b=4，也就是说这个分类下有2个数，即144和192；（4）当n=4时，设个、十、百、千位分别为a、b、c、d，则16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a，∵一个n位数中除了最高位是从1到9的数外，其他数位都是从0到9的数，∴右边最小值为1000，而左边最大值为16×9+9+9+9）＜1000，∴方程不可能有解．∴这个数不是4位数；同理：当n＞4时，无解；∴符合条件的共有4个数：0，192、144、288．∴0+192+144+288=624．答：所有这样的自然数之和是624．

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