数学高一，，函数，SOS求救

设a1,a2,a3,a4,a5为正整数，A=｛a1,a2,a3,a4,a5}，B=｛a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2},且a1＜a2＜a3＜a4＜a5,并满足A交B=｛a1,a4}且a1+a4=10

若A并B中各元素之和为256，求集合A。

注：a1,a2....都为代号不是a乘1，a

乘2

请写清过程

第一小问
∵a1，a4∈B，B中的element均为完全平方数
∴a1，a4，为完全平方数。
∵0<a1<a4<10,∴a1，a4为1，4或9。
而a1+a4=10，且a1<a9,∴a1=1，a4=9.
第二小问
∵A∩B={a1,a4},且a4=9
∴a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2中有一个数为9，即a1，a2，a3,a4,a5中有一个数为3.而a4=9>3>a1=1,且a1<a2<a3<a4
∴a2，a3中有一个数为3，另一数设为x。则A={1,3,x,9,a5}，B={1，9，x^2,81,a5^2}
∵A∪B 中各element之和为256，且A∩B={a1,a4}={1，9
∴1+3+x+9+a5+x^2+81+a5^2=256,得x+x^2+a5+a5^2=162
∵a5>a4=9,∴a5>=10,而whena5>=13时，a5^2>=169>162,矛盾
∴a5<=12,即a5=10，11或12.
1.whena5=10时，a5^2=100,x+x^2=162-100-10=52,此时x无解
2.whena5=11时，a5^2=121,x+x^2=162-121-11=30,得x=5，x^2=25.
此时，A={1，3，5，9，11}，B={1，9，25，81，121}
3.whena5=12时，a5^2=144,x+x^2=162-144-12=6,得x=2，x^2=4.
此时，A={1，2，3，9，12}，B={1，4，9，81，144}
A={1，3，5，9，11}或A={1，2，3，9，12}

a1+a4=10,a1<a4,A交B={a1,a4}，得a1=1,a4=9,则a2,a3中必有一个为3(1) 若a3=3,则a2=2,A并B={1,2,3,4,9,81,a5,a52},易得a5+a52=156,a5=12.A={1,2,3,9,12}(2)若a2=3,A并B={1,3,a3,9,a5,a32,81,a52},易知a3+a5+a32+a52=162(a)由a2<a3<a4,知a3=4~8，a3+a32=20~72，a5+a52=162-a3-a32=90~142

首先a1+a4=10且a1,a4均为完全平方数（因为A交B={a1,a4})。又因为a1<a4，所以a1=1,a4=9. A并B中的元素的和a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1)+1+81=256. 故a2(a2+1)+a3(a3+1)+a5(a5+1）=174. 因为a1方=1，a4方=81，所以有两种情况——a2方=9或a3方=9，即a2=3或a3=3。 讨论： 1）若a3=3，则a2=2，a5(a5+1)=156,a5=12.故A={1,2,3,9,12}; 2) 若a2=3, 则a3(a3+1)+a5(a5+1)=162 a) a3=4时 a5不属于自然数——错误； b) a3=5时 a5=11 故A={1,3,5,9,11}; c) a3=6时 a5不属于自然数——错误; d) a3=7时 a5不属于自然数——错误; e) a3=8时 a5=9 故A={1,3,8,9,9},因为集合中元素具有互异性， 所以该解错误。 所以A={1,3,5,9,11}或A={1,2,3,9,12} 7

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