【3xy】设(X,Y)的概率密度为P(x,y)={3xy/16,0

【3xy】设(X,Y)的概率密度为P(x,y)={3xy/16,0

【答案】 fx(x)=∫(0~x²) 3xy/16 dy
　　= 3xy²/32 (0~x²)
　　=3x^5/32
　　E(X)=∫(0~2) 3x^6/32 dx
　　=3x^7/(32*7) (0~2)
　　=3*2^7/(2^5*7)
　　=12/7
　　E(X²)=∫(0~2) 3x^7/32 dx
　　=3x^8/2^8 (0~2)
　　=3
　　D(X)=3-144/49
　　=3/49
　　E(Y)=∫(0~2)∫(0~x²) 3xy²/16 dydx
　　=∫(0~2) {xy³/16 (0~x²)} dx
　　=∫(0~2)x^7/16 dx
　　=x^8/2^7 (0~2)
　　=2^8/2^7
　　=2
　　E(Y²)=∫(0~2)∫(0~x²) 3xy³/16 dydx
　　=∫(0~2) {3xy^4/(2^6) (0~x²)} dx
　　=∫(0~2) 3x^9/2^6 dx
　　=(3/5)(x^10/2^7) (0~2)
　　=(3/5)*8
　　=24/5
　　D(Y)=24/5-4
　　=4/5
　　E(XY)=∫(0~2)∫(0~x²) 3x²y²/16 dydx
　　= ∫(0~2) {x²y³/16 (0~x²)} dydx
　　=∫(0~2) x^8/16 dx
　　=x^9/144 (0~2)
　　=2^9/(9*2^4)
　　=32/9
　　Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=32/9-24/7 =8/63
　　pxy=Cov(X,Y)/根号(D(X)D(Y))=8/63/(3/49*4/5)=(8/63)/{(2/7)根号(3/5)}=(4/9)*根号(5/3)=(4/27)根号15

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