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24?小?时?人?工?服?务?电?话；0571-8305-0568.?.?.?.?.?.?.?.?概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。大数定律分为弱大数定律和强大数定律。大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。）最早的大数定律的表述可以追溯到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolmogorov才真正证明了最后的强大数定律。证明方法：这个大数定律的证明确实有几种不同的方法。最早的证明是由数学大师Kolmogorov给出的。Durrett (2010)的书上用的是Etemadi (1981)的方法，需要截断X，用到现代概率论的知识如Borel-Cantelli引理、Kolmogorov三级数定理、Fubini定理等。（感谢读者指出，Durrett的书在倒向鞅一章中给出了大数定律的倒向鞅方法证明，只需要用到倒向鞅的知识和Hewitt-Savage 0-1律，不过这也是现代概率论的知识。）此外，还有很多不同的大数定律，不同分布的，不独立的序列等。定律也不一定是关于随机变量的，也可以是关于随机函数的，甚至随机集合的等等。以数学家命名的也有Khinchin大数定律(不独立序列的强大数定律)、Chebyshev大数定律(弱大数定律(1))、Poisson大数定律(不同概率的随机事件序列的大数定律)、Bernoulli大数定律(随机事件的大数定律)、Kolmogorov大数定律(强大数定律

就是这个解释

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