导数与微分

导数与微分

分析：这种题属于抽象求极限题，根据求极限的形态，是：1^∞型，很自然想到用重要极限！
解：
lim{f[a+(1/n)]/f(a)}^n
=lim{[1+[f(a+1/n)-f(a)]/f(a)]^{f(a)/[f(a+1/n)-f(a)]}^[f(a+1/n)-f(a)]/[1/nf(a)]}

根据重要极限：lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e
∴
lim{[1+[f(a+1/n)-f(a)]/f(a)]^{f(a)/[f(a+1/n)-f(a)]} = e
又∵
f(x)在x=a处可导

即：f'(a)=lim[f(a+1/n)-f(a)]/[1/n]
∴
lim[f(a+1/n)-f(a)]/[1/nf(a)]

=lim[f(a+1/n)-f(a)]/[1/n]·[1/f(a)]
=f'(a)/f(a)
所以,
原极限值=e^[f'(a)/f(a)]

lim(n->∞) [ f(a+1/n)/f(a) ]^n
consider
lim(x->∞) [ f(a+1/n)/f(a) ]^x
let
y=1/x
y->0
f(a+y) = f(a) + f'(a)y +o(y)
lim(x->∞) [ f(a+1/n)/f(a) ]^x
=lim(y->0) [ f(a+y)/f(a) ]^(1/y)
=lim(y->0) ( 1+ [f'(a)/f(a)]y )^(1/y)
=e^[f'(a)/f(a) ]追问为什么f(a+y) = f(a) + f'(a)y追答泰勒展式
g(x)=f(a+x) => g(0) =f(a)
g'(x) = f'(a+x) => g'(0) /1! = f'(a)
g(x) = g(0) + [g'(0)/1!] x + o(x)
f(a+x) = f(a) + f'(a)x+ o(x)
ie
f(a+y) = f(a) + f'(a)y +o(y)

算不出

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