直线Y=a与函数f(x)=X^3-3X的图像有相异的三个交点,求a的取值范围。
谢谢!!!
直线Y=a与函数f(x)=X^3-3X的图像有相异的三个交点,求a的取值范围。
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对函数求导
f'(x)=3x^2-3
所以在区间x<=-1和区间x>=1上单调递增
在区间-1<x<1上递减
因为f(-1)=2,f(1)=-2
由图像可知只要
f(1)<a<f(-1),则有三个交点
即-2<a<2
f(x)=x^3-3x
f'x=3x^2-3
x=1或-1时,f‘x=0
x=1时是函数的极小值,y=-2,x=-1时是极大值为y=2
所以-2<a<2时与y=a有三个交点。
f(x)=X^3-3X,求导f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1),当x=1或-1,导数指为0
根据导数性质和图像,f(x)先递增-递减-递增
3个交点,f(1)《a《f(-1)
对f(x)求导:
得到f'(x)=3x²-3
那么由到函数的性质得到当f'(k)=0时
函数存在极值
就是3x²-3=0
x²=1
解得k1=1
或k2=-1
也就是说,当f(k1)<a<f(k2)时,Y=a与f(x)=X^3-3X
有3个交点
将k代入得到
f(k1)=-2
f(k2)=2
那么a的取值范围是
2>a>-2f'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)=0
x1=-1 x2=1
-1<x<1 f(x)减函数
(-无穷,-1】和【1,正无穷)增函数
f(-1)=2,f(1)=-2
画出f(x)的图像,然后再拿y=a去截,那么很容易看出
F(1)<A<F(-1)时候是有3个交点的啊
所以
-2《a《2