高数，光滑曲线弧是可求长的，怎么证明

高数，光滑曲线弧是可求长的，怎么证明

证明：
分析，光滑曲线可求长等价于连续函数必可积
令：y=f(x)在[a,b](b>a)上连续，将闭区间[a,b]分割成n个微小区间，即：
x0=a≤x1≤x2≤.....≤xn=b，考查每个区间[x(i-1),x(i)]上f(x)的取值

∵f(x)在[x(i-1),x(i)]连续
∴根据最值定理必然存在：m(i)，M(i)，使得：
m(i)≤f(x)≤M(i)，x∈[x(i-1),x(i)]
再令：Δx(i)=x(i)-x(i-1)，于是：
m(i)·Δx(i) ≤f(x)Δx(i) ≤ M(i)·Δx(i)，
根据介值定理，至少∃ξ(i)∈[x(i-1),x(i)],使得在微小区间段中：
m(i)·Δx(i) ≤f(ξ(i))Δx(i) ≤ M(i)·Δx(i)
再令：M(min)=Σ(i:1→n) m(i)·Δx(i)，M(max)=Σ(i:1→n) M(i)·Δx(i)
显然：M(max)-M(min) ≥0
另一个方面：
M(max)-M(min)　
＝Σ(i:1→n) [M(i)-m(i)]·Δx(i)
根据康托定理，连续函数y=f(x)在[a,b]上必然是一致连续的，因此，根据介值定理，下述成立：
∀ε>0，且令：ε=max{M(i)-m(i)}，则：
∃ζ>0，使得：|x(i)-x(i-1)|<ζ时，M(i)-m(i)<ε
因此：

Δx=max{Δx(i)}
lim(Δx→0) [M(max)-M(min)]=0
即：当Δx→0时，M(max)和M(min)有相同的收敛值
又∵
M(min)≤Σ(i:1→n) f[ξ(i)]Δx(i)≤M(max)
上式取Δx→0，即n→∞的极限，则：
lim(n→∞) M(min) ≤lim(n→∞)Σ(i:1→n) f[ξ(i)]Δx(i)≤lim(n→∞)M(max)
根据夹逼准则：lim(n→∞)Σ(i:1→n) f[ξ(i)]Δx(i)极限存在，于是：

∫(a,b) f(x)dx=lim(n→∞)Σ(i:1→n) f[ξ(i)]Δx(i)存在
∴函数y=f(x)在[a,b]上可积
证毕！

你好！ 原函数存在定理:连续函数一定有原函数 仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

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