已知函数f(x)=loga(a^x-1),(a>0,且a不等于1)

已知函数f(x)=loga(a^x-1),(a>0,且a不等于1)。
1.求f(x)的定义域，
2.f(x)的单调性
3.f(2x)=f^-1(x)

函数f(x)=loga(a^x-1),(a>0,且a不等于1)。

（1）函数有意义需真数大于0
即a^x-1>0 ,a^x>1
当a>1时，得x>0,函数定义域为(0,+∞)
当01,
真数t=a^x-1为增函数，又y=logat为增函数
所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数

若0 真数t=a^x-1为减函数，又y=logat为减函数
所以函数f(x)在(-∞，0)上为增函数
总之，f(x)在相应的定义域内是增函数

（3）
y=loga(a^x-1)
a^y=a^x-1
∴a^x=a^y+1
∴x=loga(a^y+1)
∴f^(-1)(x)=loga(a^x+1)
那么f(2x)=f^(-1)(x)
即loga(a^(2x)-1)=loga(a^x+1)
∴a^(2x)-a^x-2=0
∴a^x=2或a^x=-1（舍去）
∴x=loga2

根据对数函数的定义域，所以a(a^x-1)>0, 又因为a>0 所以a^x<1 所以当0<a<1时，x>0 当1<a时，x<0. 所以函数f(x)的图像在y轴的一侧。 假设x1<x2 若0<a<1，则a^x1>a^x2,a^x1-1>a^x2-1 所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1) 所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0 若1<a，则a^x1<a^x2,a^x1-1<a^x2-1 所以loga(a^x1-1)<loga(a^x2-1) 所以[loga(a^x1-1)-loga(a^x2-1)]/（x1-x2）>0 所以函数f（x）图像上任意两点斜率大于0.

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