已知数{an}的前n项和为Sn，且满Sn=2an-n（n=1，2，3_）

已知数{a_n}的前n项和为S_n，且满S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（3）b_n=na_n，求数{b_n}的前n项T_n．

（1）因为S_n=2a_n-n，令n=1，解得a₁=1，
分别再令n=2，n=3，可解得a₂=3，a₃=7；
（2）因为n＞1，n∈N），
两式相减可得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2，所以{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列；
（3）因为{a_n+1}构成首项为2，公比为2的等比数列，
所以an+1＝2n，所以a_n=2ⁿ-1，
因为b_n=na_n，所以b_n=n?2ⁿ-n，
所以T_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令H_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ （1）
则2H_n=1?2²+2?2³+3?2⁴+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹ （2）
（1）-（2）得：-H_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=
2(1?2n)
1?2?n?2n+1=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，故H_n=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹，
所以T_n=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹-
n(n+1)
2

试题解析：

（1）分别令n=1，2，3代入，计算可得数列的值；
（2）由S_n=2a_n-n，可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），两式相减易得；
（3）由（2）可得b_n=n?2ⁿ-n，分别由错位相减法和等差数列的求和公式可得答案．

名师点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查数列的求和，涉及等比关系的确定和错位相减法求和，属中档题．

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