三次曲线的Cayley—Bacharach定理
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解决时间 2021-01-16 04:19
- 提问者网友：世勋超人
- 2021-01-16 00:14
三次曲线的Cayley—Bacharach定理
最佳答案
- 五星知识达人网友：不如潦草
- 2021-01-16 00:59
两条三次曲线有九个交点。 如果第三条三次曲线经过前两条三次曲线的8个交点， 那么它也必定通过第九个交点。 这就是著名的凯莱-巴拉赫性质（Cayley–Bacharach theorem）。事实上，这条定理被Chasles先证出，又被Cayley，Bacharach推广到高次形式，因此又称为Chasles定理。上述性质可以推演出许多射影几何中有关三点共线（或三线共点）的定理， 如帕斯卡定理、帕普斯定理等等，均可简易证出。
特别的，过一个3x3“笼子”（Cages ）中八个点的三次曲线，也过第九个点。（这个定理也被形象的称为三次曲线的“笼子”定理（Cage Theorem for Cubics）。值得一提的是，这个定理与Gorenstein Ring（戈伦斯坦环）有紧密联系。因此虽然一般九点确定可以确定一条三次曲线，但如果九点处于一种特殊的位置，则确定不了一条三次曲线。有关Pappus定理和Pascal定理的证明，可参考： CAYLEY-BACHARACH THEOREMS AND CONJECTURES，D. Eisenbud, M. Green and J. Harris
有关Cayley-Bacharach定理的推广及其他，可参考： CURVES IN CAGES: AN ALGEBRO-GEOMETRIC ZOO，Gabriel Katz
特别的，过一个3x3“笼子”（Cages ）中八个点的三次曲线，也过第九个点。（这个定理也被形象的称为三次曲线的“笼子”定理（Cage Theorem for Cubics）。值得一提的是，这个定理与Gorenstein Ring（戈伦斯坦环）有紧密联系。因此虽然一般九点确定可以确定一条三次曲线，但如果九点处于一种特殊的位置，则确定不了一条三次曲线。有关Pappus定理和Pascal定理的证明，可参考： CAYLEY-BACHARACH THEOREMS AND CONJECTURES，D. Eisenbud, M. Green and J. Harris
有关Cayley-Bacharach定理的推广及其他，可参考： CURVES IN CAGES: AN ALGEBRO-GEOMETRIC ZOO，Gabriel Katz
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