两道初三数学题~请高人指教~

1.如图一，BC为圆O的直径，AD垂直BC，垂足为D。弧AB=弧AF，BF和AD相交于E。试证明：AE=BE，并说明理由。

2.如图，点A，B是圆O上两点，AB=10，点P是圆O上的动点（P与A，B不重合）连接AP，PB，过点O分别作OE垂直AP于点E，OF垂直PB于点F，则EF=？

请写出过程~谢谢~

1，将圆补完整，延长AD交圆于点M，则弧AB=弧BM，又弧AB=弧AF，所以弧BM=弧AF，所以角BAE=角ABE，所以AE=BE

2，OE垂直于AP，所以E平分AP，同理F平分BP，所以EF是三角形PAB的中位线，所以EF=0.5AB=5

1

连接AF,AO,OF。设BF交AO于G

因为AO=BO=FO且弧AB=弧AF

所以AO垂直平分BF于G

又因为∠ADO=∠BGO=90°，∠BOA为公共角，BO=AO

故△BGO≌△ADO

因此∠GBO=∠DAO

而∠OBA=∠OAB

所以又∠ABE=∠BAE

所以AE=BE得证

2

连接AO,BO

因为AO=PO=BO且OE⊥AP,OF⊥BP

所以2AE=AP,2BF=BP

从而由比列相等知道EF平行AB

且EF/AB=PE/AP=0.5

所以EF=0.5*10=5

1.连结AC

因为弧AB=弧AF

所以，∠ACB=∠ABF

又因为△ABC是直角三角形，且AD垂直BC

所以，∠ACB=∠BAD

综合以上两个等式可得，∠ABF=∠BAD

所以，AE=BE，△ABE是等腰三角形。

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