已知等差数列an中,a2=5,a6+a8=30,求an/2ⁿ的前n项和

已知等差数列an中,a2=5,a6+a8=30,求an/2ⁿ的前n项和

a6+a8=2a7=30,得a7=15
5d=a7-a2=15-5=10, 得d=2
an=a2+d(n-2)=5+2(n-2)=2n+1
记Sn为an/2^n的前n项和，则有：
Sn=3/2+5/2²+7/2³+....+(2n+1)/2^n
则(Sn)/2=3/2²+5/2³+...+(2n-1)/2^n+(2n+1)/2^(n+1)
两式对应相减得：(Sn)/2=3/2+2/2²+....+2/2^n-(2n+1)/2^(n+1)
=1/2+2/2+2/2²+..+2/2^n-(2n+1)/2^(n+1)
=1/2+2(1-1/2^n)-(2n+1)/2^(n+1)
=5/2-(2n+5)/2^(n+1)
所以Sn=5-(2n+5)/2^n

解： (1) 设等差数列公差为d。 a6+a8=a2+4d+a2+6d=2a2+10d=2×0+10d=-10 d=-1 a1=a2-d=0-(-1)=1 an=a1+(n-1)d=1+(-1)(n-1)=-n+2 数列{an}的通项公式为an=-n+2。 (2) bn=(an -2)×2^(n-1)=(-n+2-2)×2^(n-1)=-n×2^(n-1) sn=b1+b2+...+bn=-1×2^0-2×2^0-...-n×2^(n-1)=-[1×2^0+2×2^1+...+n×2^(n-1)] 2sn=-[1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2ⁿ] sn-2sn=-sn=-[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2ⁿ] =-[(2ⁿ -1)/(2-1) -n×2ⁿ] =-[(1-n)×2ⁿ -1] =(n-1)×2ⁿ +1 sn=(1-n)×2ⁿ -1。

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