请问如何证明以下？
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解决时间 2021-01-09 18:48
- 提问者网友：绫月
- 2021-01-09 13:43
请问如何证明以下？
最佳答案
- 五星知识达人网友：话散在刀尖上
- 2021-01-09 15:05
（i）证明：
(1) VA ⊂ Mn(R) （首先，VA 是 Mn(R) 的一个子集）
(2) a∈VA，b∈VA
A(a+b) = Aa+Ab = aA+bA = (a+b)A
所以 (a+b)∈VA （其次，VA在加法下关闭）
(3) α∈ℝ，w∈VA
A(αw) = α(Aw) = α(wA) = (αw)A
所以 αw∈VA （再次，VA在标量乘法下关闭）
(4) A*0 = 0 = 0*A
所以 0∈VA （最后，VA包含0向量）
因此，VA 是 Mn(R) 的子空间
（ii）关闭
证明：
p∈VA，q∈VA
A(pq) = (Ap)q = (pA)q = p(Aq) = p(qA) = (pq)A
因此，VA 在矩阵乘法下也关闭追问为什么在矩阵乘法下也关闭？两个矩阵相乘 AB不等于BA啊追答一般情况下，AB 确实不等于 BA
但是 VA 这个子空间是很特殊的 （见以下证明）：
--------------------------------------
VA 中的任何一个元素 X 都满足：
AX = XA
设 VA 中的两个矩阵：p，q
则 Ap = pA
Aq = qA
而且 A(pq) = (Ap)q = (pA)q = p(Aq) = p(qA) = (pq)A
所以 A(pq) = (pq)A
即： pq 也在 VA 中
这也就意味着，VA 中任意两个矩阵相乘，得到的新矩阵也在 VA 中，
因此，VA 在矩阵乘法下关闭
(1) VA ⊂ Mn(R) （首先，VA 是 Mn(R) 的一个子集）
(2) a∈VA，b∈VA
A(a+b) = Aa+Ab = aA+bA = (a+b)A
所以 (a+b)∈VA （其次，VA在加法下关闭）
(3) α∈ℝ，w∈VA
A(αw) = α(Aw) = α(wA) = (αw)A
所以 αw∈VA （再次，VA在标量乘法下关闭）
(4) A*0 = 0 = 0*A
所以 0∈VA （最后，VA包含0向量）
因此，VA 是 Mn(R) 的子空间
（ii）关闭
证明：
p∈VA，q∈VA
A(pq) = (Ap)q = (pA)q = p(Aq) = p(qA) = (pq)A
因此，VA 在矩阵乘法下也关闭追问为什么在矩阵乘法下也关闭？两个矩阵相乘 AB不等于BA啊追答一般情况下，AB 确实不等于 BA
但是 VA 这个子空间是很特殊的 （见以下证明）：
--------------------------------------
VA 中的任何一个元素 X 都满足：
AX = XA
设 VA 中的两个矩阵：p，q
则 Ap = pA
Aq = qA
而且 A(pq) = (Ap)q = (pA)q = p(Aq) = p(qA) = (pq)A
所以 A(pq) = (pq)A
即： pq 也在 VA 中
这也就意味着，VA 中任意两个矩阵相乘，得到的新矩阵也在 VA 中，
因此，VA 在矩阵乘法下关闭
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