如图，⊙O的直径AB=20cm，P为OB上一点，且AP∶PB=4∶1 ，过点P的弦CD与AB相交成的∠APC=45°，求CD的长。

如图，⊙O的直径AB=20cm，P为OB上一点，且AP∶PB=4∶1 ，过点P的弦CD与AB相交成的∠APC=45°，求CD的长。

连接OC、OD，做OE⊥CD于E，则⊿OPE是等腰RT⊿

设PC=x，PD=y，OE=z=PE，⊙O的半径R=10cm

则有x-y=2z，z=(x-y)/2①

在RT⊿OCE中，有OC²=OE²+CE²，即R²=(x-z) ²+z²②

①代入②得R²=[(x+y)/2]²+ [(x-y)/2]²=(x²+y²)/2，即x²+y²=200④

∵AP∶PB=4∶1 ∴AP＝AB×4/5＝16，PB＝AB×1/5＝4

在⊙O中，AP·PB＝CP·PD，16×4＝x·y，即xy=64⑤

④+⑤×2，得(x+y)²=328，x+y ＝2√82，即CD＝2√82

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